Many congratulations on the (arrival of the) new baby.
Serdeczne gratulacje z okazji narodzin dziecka.

We congratulate you (most sincerely) on passing the exam.
Serdecznie gratulujemy z okazji zdanego egzaminu.

[infml] I was delighted to hear of your success in the exam. Well done!
[infml] Bardzo mnie ucieszył Twój sukces na egzaminie. Brawo!

I have just heard the wonderful news of your forthcoming marriage and offer you my sincerest congratulations and best wishes for your future happiness.
Właśnie dowiedziałem się o planowanym ślubie. Gratuluję i życzę wszystkiego najlepszego na nowej drodze życia.